Завдання №1 (прийом відповідей до 02 грудня 2019 року)

Чи не змогли б ви розставити плюси та мінуси між цифрами, так щоб вийшла рівність?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Відповідь на завдання №1:
Коли я подумав про це завдання, мені здавалося, що має одне рішення:
123 – 45 – 67 + 89 = 100 З вашою допомогою з’ясувалося, що є ще шість(!) можливих рішень:
1 + 23 – 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100

Нами було отримано 38 відповідей, із них 32 були правильними.
Правильні відповіді надіслали (по школах у порядку черговості):

  • Геннадій Аронов, Марія Павленко, Вікторія Куляк, Олександр Урсу, Юрій Мирон, Олександр Сахаров із Технологічного ліцею ОРТ ім. Герцля, Кишинів, Молдова;
  • Назар Алісултанов, Назар Шапіро, Аліса Скаповська, Саміра Абдуллаєва, Каріна Луньова, Софія Кролевич, Талля Айдарова, Маргарита Лавриненко, Софія Єрмошкіна з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Діана Тарханова, Ліана Балкова, Ганна Сечина, Артем Рімарчук, Софія Карватовська, Єгор Жоров, Анастасія Мартіросова з НВК №141, Київ, Україна;
  • Данило Суханов, Ірина Охота, Матвій Кушпар із гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна;
  • Марік Войцеховський, Дар’я Абраменко, Лірон Бланк із гімназії ім. Шалом Алейхема, Вільнюс, Литва;
  • Ар’є Шафран, Ілля Кузміч з Єврейської школи, Таллінн, Естонія,
  • Олександр Голецек із ЗОШ №41, Чернівці, Україна.
  • Особливо хочеться відзначити Ганну Сечину з НВК №141, Київ, Україна , яка надіслала 2 різні та правильні рішення.

Завдання №2 (прийом відповідей до 09 грудня 2019 року)

Перед нами квадратний аркуш паперу розміром 10 див на 10 див.
Як нам (не розрізаючи і не користуючись лінійкою та іншими інструментами!) одержати з нього квадратний листок паперу, площа якого буде 50 см 2 ?
Відповідь на завдання №2:
У цьому квадратному листку ABCD загнемо кут A по лінії FE до центру. Те саме зробимо з іншими кутами B, C і D:

Площа отриманого квадрата FEHG дорівнює 50 см2 .

Нами було отримано 24 рішення, з яких 20 виявились правильними. Правильні рішення (по школах у порядку черговості надіслали):

  • Анастасія Арнаутова із Технологічного ліцею ОРТ ім. Герцля, Кишинів, Молдова;
  • Микита Даниленко, Назар Шапіро, Султан Станбеков, Микита Земляний, Назар Алісултанов, Василина Короткова, Гедалья Айдаров та Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Валерія Скакун, Аскольд Гальчук та Поліна Грушевата із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Ілля Кузьмич та Даніель Богович з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Софія Карватовська, Валерія Швачка, Ганна Сечина та Лев Карпук із НКВ №141, Київ, Україна;
  • Рон Кріхелі і Давид Циткілов зі школи №1311, Москва, Росія.
  • Особливо хочеться відзначити Валерію Скакун, Аскольда Гальчука, Поліну Грушевату (всі із ЗОШ №41, Чернівці, Україна); Назара Шапіро, Султана Станбекова, Микиту Земляного, Назара Алісултанова, Василину Короткову, Гедаллю Айдарова, Давида Міркіна (усі з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан); Ганну Сечину, Валерію Швачку, Лева Карпука (з НКВ №141, Київ, Україна); Рона Кріхелі, Давида Циткілова (зі школи №1311, Москва, Росія) за надіслані файли з поясненням їхнього вирішення. Вони отримують за це за додатковим балом.

Завдання №3 (прийом відповідей до 16 грудня 2019 року)

Серед мешканців селища Маленьке є 1000 осіб, які мають свої машини. У кожної машини свій тризначний номер, починаючи від 000 до 999. Через гострий дефіцит бензину рада селища прийняла такі правила про заправку машин:

  1. у понеділок можуть заправитися тільки ті машини, у номері яких усі цифри менше 6
  2. у вівторок можуть заправитися ті машини, номер яких непарне число
  3. в середу можуть заправитися тільки ті машини сума цифр номера, яких більше 10
  4. у четвер можуть заправитися ті машини, номери яких діляться на 3
  5. у п’ятницю можуть заправитися ті машини, сума цифр номери яких менше 15
  6. у суботу можуть заправитися ті машини, номер яких складається з хоча б двох однакових цифр
  7. у неділю можуть заправитися тільки ті машини, номери яких менші за 500

Пан Лакі живе у селищі Маленький і має машину. Коли він уважно прочитав нові правила про заправку машин, він сказав “Це цікаво, я можу заправити свою машину в будь-який день тижня!”. Який номер машини у пана Лакі?

Розв’язання задачі №3
Позначимо суму чисел номера машини пана Лакі літерою Х.
1. За правилом №3 Х> 10, а за правилом №5 Х< 15 , тобто 10< X< 15.
2. За правилом №4 номер машини має ділитися на три, тобто Х має ділитися на три.
Єдине число, яке задовольняє умовам 1 і 2, це 12, тобто Х = 12 і сума цифр номера машини дорівнює 12.
За правилом №2 число має бути непарним і за правилом №1 усі цифри мають бути меншими за 6 – отже, останньою цифрою номера машини можуть бути 1, 3 або 5.
За правилом №6 у номері мають бути хоча б дві однакові цифри.
Разом з тим, що сума всіх цифр має бути 12 і всі цифри менші за 6 – номер машини не може закінчуватися на 1 (максимальна сума тоді буде 5 + 5 + 1 = 11)< 12).
Якщо номер закінчується на 3, то тоді можливі номери 363 або 633, але так як всі цифри повинні бути менше 6 ці можливості теж відпадають.
Значить, номер машини закінчується на 5, і ми маємо дві можливості 525 або 255.
За правилом №7 номер машини має бути меншим за 500, значить номер машини
пана Лакі, який задовольняє всі правила, – 255.

Було отримано 41 рішення, з яких 27 виявилися правильними. Правильні рішення (по школах у порядку черговості надіслали):

  • Данило Авраменко, Максим Вацко та Ганна Сєчкіна з НКВ №141, Київ, Україна;
  • Лірон Бланк із гімназії ім. Шалом Алейхема, Вільнюс, Литва;
  • Олександра Гольдіна, Валерія Скакун та Аскольд Гальчук із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Ілля Кузьмич, Даніель Богович та Михайло Осипчик з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Віктор Сухоруков та Давид Циткілов зі школи №1311, Москва, Росія;
  • Евеліна Грязєва з гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна;
  • Назар Алісултанов, Назар Шапіро, Гедалья Айдаров, Султан Станбеков, Давид Міркін, Лія Тюлегенова та Талля Айдарова з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Арсеній Зайков, Даніель Лотоха, Михайло Лисянський, Гліб Леницький, Кіра Шварц, Анастасія Танська та Ганна Берлін із СШ “ОРТ” №94, Одеса, Україна.

Особливо хочеться відзначити Олександру Гольдіну (з ЗОШ №41, Чернівці, Україна) та Давида Міркіна (з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан) за надіслані файли з гарним поясненням їх вирішення.
На жаль, не всі учасники зрозуміли систему нарахування балів, і ми отримали багато правильних відповідей без жодного пояснення. У цьому турі, ми вирішили дати 3 бали за правильну відповідь та 4 бали за відповідь з гарним рішенням та поясненням.

Завдання №4 (прийом відповідей до 23 грудня 2019 року)

Група з 12 осіб (чоловіків, жінок та дітей) несе 12 буханців хліба. Кожен чоловік несе 2 буханці, кожна жінка несе 1/2 буханця і кожна дитина несе 1/4 буханця хліба.
Скільки було у групі чоловіків, жінок та дітей?
Розв’язання задачі №4

Позначимо число чоловіків у групі літерою Х, число жінок літерою Y та число дітей літерою Z.
1. кількість людей у групі дорівнює 12 і тому: X + Y + Z = 12
2. всі разом несуть 12 буханців хліба і тому: 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
У нас є 2 рівняння з 3 невідомими, в загальному випадку тут може бути нескінченна кількість рішень, але так як X, Y та Z цілі числа, є всього 2 рішення.
Помножимо перше рівняння на два і отримаємо:
1. 2X + 2Y + 2Z = 24
2. 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
Віднімемо з першого рівняння друге та отримаємо: 3/2 Y + 7/4 Z = 12
Помножимо на 4: 6Y + 7Z = 48 або 7Z = 48 – 6Y та Z = (48 – 6Y)/7
З останнього рівняння зрозуміло, що Y може дорівнювати тільки 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
А Z має бути цілим числом.
Єдині дві можливості – Y = 1 і Z = 6 або Y = 8 і Z = 0.
У першому випадку отримаємо X = 5, Y = 1, Z = 6; а у другому X = 4, Y = 8, Z = 0.
Так як за умовою завдання ми знаємо, що у групі є чоловіки, жінки та діти друге рішення (у якому немає дітей) ми повинні відкинути і у групі були 5 чоловіків, 1 жінка та 6 дітей.

Нами було отримано 25 відповідей, з яких 22 виявились правильними.

Правильні відповіді (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Давид Циткілов та Захар Манеліс зі школи №1311, Москва, Росія;
  • Ілля Кузьмич та Даніель Богович з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Ганна Сєчкіна, Данило Авраменко та Єгор Жоров із НКВ №141, Київ, Україна;
  • Лірон Бланк та Марік Войцеховський з гімназії ім. Шалом Алейхема, Вільнюс, Литва;
  • Матвій Кушпар із гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна;
  • Олександр Голецек із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Гедалья Айдаров та Назар Шапіро з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Усі вони одержують по 1 балу.

Відповіді з неповним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Максим Вацко та Костя Єрьомін з НКВ №141, Київ, Україна;
  • Аскольд Гальчук та Поліна Грушевата із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Євгенія Ліфшиць зі школи ім. Дубнова, Рига, Латвія;
  • Назар Алісултанов та Маргарита Лавриненко з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Усі вони отримують по 2 бали .

Повне рішення надіслали:

  • Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Вони одержують по 3 бали.

Особливо хочеться відзначити Олександру Гольдіну із ЗОШ №41, Чернівці, Україна за оригінальне (але неповне) рішення, вона отримує додатковий бонусний бал (всього 3 бали).

Завдання №5 (прийом відповідей до 30 грудня 2019 року)

Після 7 прань шматок господарського мила став удвічі коротшим, удвічі вже й удвічі нижчим.

На скільки прань вистачить шматка, що залишився?

Розв’язання задачі №5

Позначимо довжину шматка мила спочатку буквою а, ширину шматка мила спочатку буквою b і висоту шматка мила спочатку буквою с.
Початковий обсяг шматка мила: V (спочатку) = axbxc = abc
Після 7 прань, за умовою завдання, довжина шматка мила дорівнює а/2, ширина шматка мила дорівнює b/2 і висота дорівнює с/2.
Тому об’єм шматка мила після 7 прань: V (наприкінці) = (a/2)x(b/2)x(c/2) =1/8 abc, тобто наприкінці ми залишилася 1/8 від початкового шматка .
Якщо за 7 прань було використано 7/8 шматка мила, то на кожне прання потрібно рівно по 1/8 від початкового шматка мила.
Так як у нас залишилася 1/8 від початкового шматка мила, то її вистачить рівно на одне прання.

Нами було отримано 14 відповідей, з яких 11 виявились правильними.

Правильні відповіді (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Назар Алісултанов з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Єгор Жоров із НКВ №141, Київ, Україна;

Обидва одержують по 1 балу.

Відповіді з неповним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслав:

  • Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;

Він отримує 2 бали .

Повне рішення надіслали:

  • Аскольд Гальчук, Валерія Скакун та Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Маргарита Лавриненко, Дар’я Непомнящая, Назар Шапіро та Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;

Усі вони отримують по 3 бали.

Особливо хочеться відзначити за творчу виставу свого рішення Костю Єрьоміна з НКВ №141, Київ, Україна. Він отримує додатковий бонусний бал (всього 4 бали).

Завдання №6 (прийом відповідей до 20 січня 2020 року)

Пан Небагатий приїхав до міста у справах, він мав залишитись там 8 днів (7 ночей). У місті був один готель, але грошей у нього не було. Зате у нього був гарний срібний ланцюжок із 7 ланок.

Хазяїну готелю ланцюжок сподобався, і вони домовилися, що пан Небагатий розплатиться ланцюжком за своє проживання у готелі. Але оскільки оплата в готелі щоденна господар висунув такі вимоги:

1. щоранку пан Небагатий повинен віддати йому одну ланку ланцюжка, як оплату за минулу ніч
2. для того, щоб пошкодження всього ланцюжка було мінімальним, кількість розрізів має бути мінімальним.

Як пан Небагатий виконати ці умови і скільки розрізів потрібно для цього зробити?

Відповідь на завдання:

Для того, щоб виконати умови господаря готелю та прожити там 7 ночей, пан Небагатий має зробити один розріз ланки №3:

Після цього ланцюжок розпадеться на три частини – одна ланка №3 (яка була розрізана), дві зв’язані ланки (№1 і №2) і чотири зв’язані ланки (№4 – №7).
Першого ранку пан Небагатий віддасть господареві готелю ланку №3 як оплату за першу ніч. На другий ранок він віддасть господареві дві ланки (№1 і №2) і отримає у нього як здачу ланку №3. Усі подальші оплати представлені у наступній таблиці:

Число ланок ланцюжка, які залишаються у господаря щоранку, дорівнює кількості ночей, які провів пан Небагатий у його готелі.

Нами було отримано 13 рішень , з яких 5 виявилися повними та правильними.

Правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Назар Алісултанов, Аліса Скоповська, Назар Шапіро та Давид Міркін з Єврейської
    школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали .

Завдання №7 (прийом відповідей до 27 січня 2020 року)

Один хлопчик вирішив принести своїй бабусі кілька тістечок на честь дня народження. Бабуся живе в іншому кінці міста і дорогою до неї потрібно пройти 7 мостів. На кожному мосту живе голодний Сірий Вовк, він відбирає у хлопчика половину тістечок, які має. Але якщо хлопчик розповість йому, що ці тістечка призначені для бабусі, яка має сьогодні день народження, Сірий
Вовк його пошкодує і віддасть йому тістечко назад.Скільки тістечок хлопчик має взяти з собою з дому для того, щоб принести бабусі два тістечка?
Розв’язання задачі №7

Почнемо розв’язання задачі з кінця – хлопчику треба піти з сьомого мосту із двома тістечками. На цьому мості, одне тістечко він отримав від Сірого Вовка (після того, як віддав йому половину того, що в нього було), значить він прийшов на цей міст з двома тістечками – одне він відразу віддав Сірому Вовку, а потім розповівши йому про бабусю отримав одне тістечка назад.

Тобто якщо хлопчик приходить на кожен міст із двома тістечками, одне він спочатку віддає, а потім отримує його назад. В результаті він і йде з цього мосту з двома тістечками.

Тому найкраще для нього рішення це вийти з дому з двома тістечками і на кожному мосту розповідати Сірому Вовку, що це тістечка для бабусі, яка має сьогодні день народження.

Як правильно помітили Давид Міркін і Дар’я Непомнящая (з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан), завдання має й інші рішення. Ці рішення природно далеко не найкращими. Так наприклад, якщо хлопчик не буде просити тістечка назад, він може вийти з дому з 256 ( 28 = 256), на кожному мосту віддати половину і прийти до бабусі з 2 тістечками. В принципі, можна довести, що вийшовши з дому з будь-якою кількістю тістечок більше двох, (і просячи тістечка назад) у хлопчика в кінці залишиться більше двох тістечок.

Нами було отримано 16 відповідей та рішень , з яких 14 виявилися правильними.

  • Правильна відповідь надіслав Данило Авраменко з НКВ №141, Київ, Україна; він одержує один бал.

Правильна відповідь із неточним рішенням надіслали:

  • Матвій Кушпар та Данило Суханов з гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна.
    Кожен учень отримує два бали.

Правильні відповіді з повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Даніель Богович та Ілля Кузьмич з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Евеліна Грязєва з гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна;
  • Назар Алісултанов, Аліса Скоповська, Давид Міркін та Назар Шапіро з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Валерія Скакун та Аскольд Гальчук із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали.
Хочеться відзначити Дар’ю Непомнящую з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм” , Бішкек, Киргизстан, яка надіслала додаткове можливе рішення. На жаль, у цьому рішенні виявилася помилка, і вона також отримує 3 бали.

Завдання №8 (прийом відповідей до 03 лютого 2020 року)

П’ять добрих друзів пішли погуляти. По дорозі вони трохи зголодніли, але мали один великий бублик.

Так як всі були хорошими друзями, і в різній мірі голодні, вони не заперечували отримати різного розміру шматочки, але при цьому вони хотіли розділити бублик за допомогою всього двох розрізів.
Чи зможете ви двома розрізами розрізати цей бублик на 5 (нерівних!) частин?

 

Розв’язання задачі №8
Завдання має безліч рішень, одне з них на малюнку 1.

Рис. 1

Для правильного вирішення є дві умови:
1. Лінії розрізів повинні перетнутися на самому бублику.
2. Лінії розрізів повинні стосуватися дірки бублика або перетинати її.
Якщо друге умова не дотримується, то малюнку 2 показаний приклад, коли розрізи перетинаються на самому бублике, але 5 шматочків ми отримуємо.

Нами було отримано 16 рішень, з яких 12 виявились правильними.
Правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Валерія Скакун, Поліна Гушевата та Аскольд Гальчук із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Бенайа Айдаров, Аліса Скоповська, Софія Мірошкіна, Давид Міркін, Назар Шапіро та Султан Станбеков з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Усі вони отримують по 3 бали.

Деякі учні правильно вказали на умову №1 (перетин розрізів на самому бублику), але до правильного формулювання другої умови найближче підійшли:

  • Даніель Богович та Ілля Кузьмич з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
    Ганна Сєчкіна з НКВ №141, Київ, Україна;
    Вони отримують додатковий бонусний бал та всього по 4 бали.

Завдання №9 (прийом відповідей до 10 лютого 2020 року)

У країні Тімбокту в ході монети 1 тимбоку, 3 тимбоку та 5 тимбоку.

Чи зможете ви розміняти паперову купюру в 200 тимбоку на монети, щоб загальна кількість монет була непарною кількістю?

Розв’язання задачі №9:

Позначимо число монет номіналом 1 тимбоку як k, номіналом 3 тимбоку як m і номіналом 5 тимбоку як n. Зрозуміло що k, m, n цілі та невід’ємні числа.
При розміні купюри в 200 тимбоку має дотримуватися рівність: k + 3m + 5n = 200
Крім того, за умовою завдання потрібно, щоб k + m + n = непарне число.
Сума трьох цілих та невід’ємних чисел може бути непарним числом в одному з двох випадків:
1. Усі три числа – k, m, n непарні числа
2. Два числа із трьох (k, m, n) парні і лише одне непарне.
У першому випадку (якщо k, m, n усі непарні числа), то k, 3m і 5n теж усі непарні числа. Тоді їх сума може бути парним числом (200).
У другому випадку (якщо два з чисел k, m, n парні і лише одне непарне), то з трьох чисел k, 3m і 5n два будуть парними та одне непарним. Але тоді сума двох парних чисел і одного непарного знову буде непарним числом і рівність k + 3m + 5n = 200 не дотримується.
Тому розмін купюри в 200 тимбоку на монети номіналом 1, 3 і 5 тимбоку так, щоб загальна кількість монет була непарним числом неможливий.

Нами було отримано 11 відповідей та рішень, з яких 10 виявилися правильними.
Правильна відповідь надіслала:

  • Даніель Богович із Єврейської школи, Таллінн, Естонія; Він отримує 1 бал.

Правильна відповідь із частковим рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Назар Алісултанов, Султан Станбеков, Дар’я Непомняща з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Костя Єрьомін з НКВ №141, Київ, Україна;
    Усі вони отримують по 2 бали.

Повні рішення надіслали:

  • Давид Міркін та Назар Шапіро з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;

На жаль, рішення Давида Міркіна було не зовсім точним і він отримує 2 бали. Назар Шапіро з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан та Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна отримують по 3 бали за свої рішення.
Гарний доказ неможливості розміну надіслала Аліса Скоповська з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан. Вона отримує додатковий бонусний бал та всього 4 бали.

Завдання №10 (прийом відповідей до 17 лютого 2020 року)

Ювелір, механік та інженер імена яких (не обов’язково в порядку їхніх професій!) Борис, Льова та Мишко зустрілися з аеропорту на шляху до Тімбокту на літню відпустку. Із загальної розмови з’ясувалося що:

  1. Борис та механік жили колись у селищі Маленький
  2. Ювелір та Льова живуть в одній країні
  3. Мишко молодший за інженера
  4. Лева старша за механіка

Як звати ювеліра?

Розв’язання задачі №10
1. Якщо Борис і механік жили колись у селищі Маленький, то Борис не механік .
2. Якщо ювелір та Льова живуть в одній країні, значить Льова не ювелір
3. Якщо Михайло молодший за інженера, значить Михайло не інженер
4. Якщо Льова старше механіка, значить Льова не механік
Якщо Льова не ювелір і не механік, значить Льова інженер.
Борис не механік і інженер, значить Борис ювелір.
Відповідь – ювеліра звуть Борис.

Нами було отримано 14 відповідей та рішень, з яких 13 виявились правильними.

Правильна відповідь надіслала:

  • Єгор Жоров із НКВ №141, Київ, Україна;

Він отримує 1 бал.

Правильна відповідь із повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Ілля Кузьмич та Даніель Богович з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Назар Шапіро, Софія Єрмошкіна, Назар Алісултанов, Аліса Скоповська, Давид Міркін, Дар’я Непомняща з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Валерія Скакун, Поліна Гушовата та Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №11 (прийом відповідей до 24 лютого 2020 року)

Під час стоянки маленького корабля між двома рейсами матросу виповнилося 20
років. З цієї нагоди у каюті зібралися усі 6 членів команди.
Я вдвічі старший за юнгу і на 6 років старший за машиніста – сказав керманич.
А я на стільки ж років старший за юнгу, на скільки молодший за машиніста – зауважив боцман.
Крім того я на 4 роки старший за матроса.
Ви знаєте, що середній вік усієї нашої команди 28 років – сказав капітан.
Скільки років капітанові?
Відповідь на завдання №11:
Матросу 20 років, і якщо боцман на 4 роки його старший означає боцману 24 роки.
Визначимо вік юнги за Х, а вік машиніста за Y.
За словами боцмана він на стільки ж років старший за юнгу наскільки молодший за машиніста, значить: 24 – Х = Y – 24
За словами рульового він вдвічі старший за юнгу і на 6 років старший за машиніста, значить:
2Х = Y + 6
У нас є 2 рівняння з двома невідомими:
Х + Y = 48
2Х – Y = 6
Складемо ці два рівняння та отримаємо 3Х = 54 та Х = 18. Підставимо Х у перше рівняння та отримаємо Y = 30. Тобто юнге 18 років, машиністу 30 років, а керманичу 36 років.
Сума віку юнги, матроса, боцмана, машиніста та рульового:
18 + 20 + 24 + 30 + 36 = 128
Середній вік усіх 6 членів команди 28 років, тому сума їх віку має бути 28 х 6 = 168
Тому вік капітана 168 – 128 = 40 років.

Нами було отримано 9 правильних відповідей та рішень.
Правильна відповідь надіслала:

  • Софія Єрмошкіна з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан; Вона отримує 1 бал.
  • Правильна відповідь з неповним рішенням надіслала:
    Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія; Він отримує 2 бали.
  • Правильна відповідь з повним рішенням надіслала:
    Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
    На жаль, у його рішенні була помилка і він отримує також 2 бали.
  • Правильна відповідь із повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:
    Назар Шапіро, Аліса Скоповська та Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Валерія Скакун та Поліна Гушувата із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
    Михайло Панасюк із НКВ №141, Київ, Україна;
    Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №12 (прийом відповідей до 02 березня 2020 року)

По дереву заввишки 14 метрів повзе гусениця. За день вона піднімається на 6 метрів нагору, а за ніч сповзає на 4 метри вниз.

Якщо гусениця почала повзти із землі, за скільки днів вона потрапить на вершину дерева?

Відповідь на завдання №12:

Опишемо положення гусениці в наступній таблиці (всі відстані в метрах):

Так як висота дерева 14 метрів, гусениця потрапить на вершину наприкінці п’ятого дня.

Нами було отримано 14 відповідей та рішень, з яких 11 виявилися правильними.
Правильна відповідь надіслала:

  • Єгор Жоров із НКВ №141, Київ, Україна; Він отримує 1 бал.

Правильна відповідь із повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Данило Суханов з гімназії “ОРТ Алеф”, Запоріжжя, Україна;
  • Яша Доля та Іван Марков із Технологічного ліцею ОРТ імені Б. З. Герцля, Кишинів, Молдова;
  • Назар Шапіро, Аліса Скоповська, Давид Міркін та Дар’я Непомнящая з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Аскольд Гальчук, Валерія Скакун та Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
    Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №13 (прийом відповідей до 09 березня 2020 року)

Електропотяг завдовжки 20 метрів проїжджає повз кілометровий стовп за 2 секунди.

Якщо швидкість поїзда стала, то скільки часу йому знадобиться, щоб проїхати міст завдовжки 40 метрів?

Відповідь на завдання №13:

Так як поїзд завдовжки 20 метрів, проїжджає повз стовп за 2 секунди, швидкість поїзда: 20 м/2 сек = 10 м/сек

Для того, щоб повністю проїхати міст завдовжки 40 метрів, локомотив поїзда повинен проїхати 60 метрів (40 метрів довжина моста + 20 метрів довжина поїзда).

Оскільки швидкість поїзда 10 м/сек це займе:

60 м / 10 м/сек = 6 секунд

 

Нами було отримано 12 відповідей та рішень, з яких 9 виявилися правильними.

Повне рішення з маленькою помилкою надіслали:

  • Яша Частка із Технологічного ліцею ОРТ імені Б. З. Герцля, Кишинів, Молдова;
  • Лія Тюлегенова з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Вони одержують по 2 бали.

Правильна відповідь із повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Назар Шапіро, Дар’я Непомнящая, Аліса Скоповська та Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
    Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №14 (прийом відповідей до 16 березня 2020 року)

Натуральне число називається паліндромом, якщо його значення не змінюється, коли ми читаємо праворуч наліво. Так, наприклад, 12321 це паліндром, а 123456 немає.

Перед вами приклад додавання: ** + *** = **** (кожна зірочка позначає якусь цифру), в якій обидва доданки та їх сума є паліндромами.

Чи не змогли б ви знайти рішення цього прикладу?

Рішення задачі:

Нам відомо що ** + *** = **** (кожна зірочка позначає якусь цифру) та обидва доданки та їх сума є паліндромами.

Зрозуміло, що сума двозначного та тризначного чисел буде виду 1aa1.

Для того, щоб отримати в сумі число більше 1000, тризначне число може бути лише виду 9b9. Тобто ** + 9b9 = 1aa1. Тому двозначне число може бути лише 22 і ми маємо 22 + 9b9 = 1aa1.

Зараз є три можливості для цифри b: b = 7, b = 8 або b = 9.

Якщо b = 7, то ми отримуємо 22 + 979 = 1001 і всі числа паліндроми.

Якщо b = 8, то ми отримуємо 22 + 989 = 1011 і сума не є паліндромом.

Якщо b = 9 ми отримуємо 22 + 999 = 1021 і сума знову є палиндромом.

Тому єдине рішення, яке виконує всі умови: 22 + 979 = 1001

Нами було отримано 12 відповідей та рішень і всі вони виявились правильними.

  • Правильна відповідь надіслали:
    Даніель Богович та Ілля Кузьмич з Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
    Каріна Луньова з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Єгор Жоров із НКВ №141, Київ, Україна;
    Усі вони одержують по 1 балу.
  • Часткове рішення надіслала:
    Лія Тюлегенова з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Вона отримує 2 бали.
  • Правильна відповідь із повним рішенням (по школах у порядку черговості) надіслали:
    Назар Шапіро, Назар Алісултанов, Аліса Скоповська та Давид Міркін з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
    Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
    Валерія Скакун та Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
    Усі вони отримують по 3 бали.

 

Завдання №15 (прийом відповідей до 23 березня 2020 року)

Перед нами три закриті коробочки, у кожній лежить одна маленька кулька біла, чорна або зелена. На кожній коробочці є напис: “білий”, “чорний”, “або білий або зелений”, але жоден з написів не відповідає вмісту.

Не змогли б ви визначити, яка кулька знаходиться в кожній коробочці?

Розв’язання задачі 15:

Нам відомо що:

Крім того, ми знаємо, що всі написи неправильні, тому в коробочці №3 («або біла або зелена») може знаходитися тільки чорна кулька:

 

Тоді біла кулька має бути в коробочці №2 на якій написано «чорну», а зелена кулька буде тоді в коробочці №1.

Нами було отримано 12 відповідей та рішень, з них 10 виявилися правильними.

Повні правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Валерія Скакун та Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Каріна Луньова, Аліса Скоповська, Назар Алісултанов, Давид Міркін та Назар Шапіро з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
  • Іван Марков із Технологічного ліцею ОРТ імені Б. З. Герцля, Кишинів, Молдова;
  • Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;

Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №16 (прийом відповідей до 30 березня 2020 року)

Учень купив 4 різні зошити. Всі зошити без першої коштують 42 рублі, всі без другої – 40 рублів, усі без третьої – 38 рублів і всі без четвертої – 36 рублів.

Скільки коштує кожен зошит?

Рішення задачі:

Позначимо вартості зошитів: Х 1 – перший зошит, Х 2 – другий зошит, Х 3 – третій зошит, Х 4 – четвертий зошит

За умовами завдання ми зможемо скласти такі рівняння:

  • Х 2 + Х 3 + Х 4 = 42
  • Х 1 + Х 3 + Х 4 = 40
  • Х 1 + Х 2 + Х 4 = 38
  • Х 1 + Х 2 + Х 3 = 36

У нас є проста система із чотирьох рівнянь із чотирма невідомими, і є кілька способів її вирішити.

Найпростіший це скласти всі рівняння, ми отримаємо: 1 + 3Х 2 + 3Х 3 + 3Х 4 = 156 або 3(Х 1 + Х 2 + Х 3 + Х 4 ) = 156 ; розділимо на 3 та отримаємо: Х 1 + Х 2 + Х 3 + Х 4 = 52

Тобто вартість усіх чотирьох зошитів 52 рублі.

Тому вартість кожного зошита:

  • Х 1 = 52 – 42 = 10 рублів;
  • Х 2 = 52 – 40 = 12 рублів;
  • Х 3 = 52 – 38 = 14 рублів;
  • Х 4 = 52 – 36 = 16 рублів.

Нами було отримано 10 відповідей та рішень, усі вони виявилися правильними.

  • Правильна відповідь, але без пояснення надіслала Даана Салієва з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан; Вона отримує 1 бал.

Повні правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Ілля Кузьмич із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
  • Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
  • Дар’я Непомняща, Аліса Скоповська, Назар Шапіро, Лія Тюлегенова, Давид Міркін та Назар Алісултанов з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №17 (прийом відповідей до 06 квітня 2020 року)

Іра, Даша, Мишко та Боря збирали гриби у лісі.

Іра зібрала найбільше грибів, а Даша не найменше.

Чи правда, що дівчатка зібрали більше грибів, ніж хлопчики?

Рішення задачі:

Позначимо скільки грибів зібрав кожен із хлопців:

Х 1 – Іра, Х 2 – Даша, Y 1 – Мишко, Y 2 – Боря

За умовами завдання ми знаємо що Іра зібрала найбільше грибів, а Даша не менше всіх. Тобто Х 1> Х 2 , Y 1 , Y 2 і ми маємо кілька можливостей:

  1. Хлопчики зібрали різну кількість грибів, для певності припустимо, що Y 1> Y 2

Тоді може бути Х 2 ≥ Y 1> Y 2 або Y 1> Х 2 ≥ Y 2

У будь-якому з цих випадків так як Х 1> Y 1 і Х 2 ≥ Y 2 то Х 1 + Х 2> Y 1 + Y 2

  1. Хлопчики зібрали однакову кількість грибів, тобто Y 1 = Y 2

Тоді знову може бути Х 2> Y 1 = Y 2 або Х 2 = Y 1 = Y 2

У кожному з цих випадків Х 2 ≥ Y 1 = Y 2

І тому знову, бо Х 1> Y 1 і Х 2 ≥ Y 2 то Х 1 + Х 2> Y 1 + Y 2

Тобто у будь-якому разі дівчатка зібрали більше грибів, ніж хлопчики.

Нами було отримано 9 відповідей та рішень, усі вони виявилися правильними.
Правильна відповідь, але без рішення надіслала Даана Салієва з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
Правильна відповідь (з не дуже зрозумілим поясненням) надіслала Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
Вони одержують по 1 балу.
Повні правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:
Аліса Скоповська, Давид Міркін, Назар Шапіро, Назар Алісултанов та Дар’я Непомнящая з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
Даніель Богович із Єврейської школи, Таллінн, Естонія;
Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;
Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №18 (прийом відповідей до 13 квітня 2020 року)

У льоху 20 однакових на вигляд банок із варенням. У 8 банках полуничне варення, у 7 банках малинове варення та у 5 банках вишневе варення.

Яка найбільша кількість банок, які можна винести в темряві з льоху з упевненістю, що там залишилися хоча б ще 4 банки одного сорту варення та 3 банки іншого сорту?

 

Рішення задачі:

Для вирішення завдання повинні дотримуватися двох умов:

  1. У підвалі повинні залишитися хоча б 2 різні види варення
  2. Того варення якого менше, має залишитися хоча б 3 банки

Для опису ситуації введемо позначення – (кількість банок полуничного варення, кількість банок малинового варення, кількість банок вишневого варення).

Наше початкове становище – (8, 7, 5).

Зрозуміло що ми не можемо забрати з льоху 12 банок варення, тому що може статися, що ми візьмемо всі банки малинового та вишневого варення і тоді вийде:

Початковий стан Що ми взяли? Що залишилось? Кінцевий результат
(8, 7, 5) (0, 7, 5) (8, 0, 0) Не дотримується умова №1

Якщо ми спробуємо взяти 11 банок, то може вийде:

Початковий стан Що ми взяли? Що залишилось? Кінцевий результат
(8, 7, 5) (0, 7, 4) (8, 0, 1) Не дотримується умова №2

Якщо ми спробуємо взяти 10 банок, то може вийде:

Початковий стан Що ми взяли? Що залишилось? Кінцевий результат
(8, 7, 5) (0, 7, 3) (8, 0, 2) Не дотримується умова №2

Спробуємо взяти 9 банок, але тоді може вийде:

Початковий стан Що ми взяли? Що залишилось? Кінцевий результат
(8, 7, 5) (0, 6, 3) (8, 1, 2) Не дотримується умова №2

Спробуємо взяти 8 банок, але тоді може вийде:

Початковий стан Що ми взяли? Що залишилось? Кінцевий результат
(8, 7, 5) (0, 5, 3) (8, 2, 2) Не дотримується умова №2

Але якщо ми візьмемо 7 банок, то легко переконається, що обидві умови будуть дотримані.

Тому максимальна кількість банок варення, які можна взяти з льоху, дорівнює 7.

Нами було отримано 7 рішень, всі вони виявились правильними.

Повні правильні рішення (по школах у порядку черговості) надіслали:

Аліса Скоповська, Давид Міркін, Назар Алісултанов, Назар Шапіро та Дар’я Непомняща з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан; Валерія Скакун із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;

Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали.

Завдання №19 (прийом відповідей до 20 квітня 2020 року)

У деяких натуральних чисел є цікава властивість: якщо ми помножимо це число на два, то ми отримаємо квадрат іншого числа, а якщо ми помножимо це число на три, то отримаємо куб ще одного числа.

Чи не змогли б ви знайти мінімальне натуральне число, у якого є така властивість?

 

Рішення задачі:

Позначимо наше число як Х, тоді за умовами завдання:

2Х = n 2 і 3Х = s 3 (Х ≠ n; Х ≠ s)

З останніх рівнянь зрозуміло, що n має ділитися на 2 та s має ділитися на 3.

Тобто n = 2m та s = 3t;

підставимо n і s у наші рівняння та отримаємо:

2Х = (2m) 2 тобто 2Х = 4m 2 і Х = 2 m 2

3Х = (3t) 3 тобто 3Х = 27t 3 та Х = 9 t 3

Ми отримали що: 2m 2 = 9t 3 ;

з цього рівняння зрозуміло, що m має ділитися на 3 і t має ділитися на 2.

Тобто m = 3k та t = 2u;

підставимо ці m і t в останнє рівняння та отримаємо:

2(3k) 2 = 9(2u) 3 тобто 2(9k 2 ) = 9(8u 3 ) і після скорочень отримаємо k 2 = 4u 3 (*)

Ми шукаємо мінімальне рішення даного рівняння у натуральних числах тому:

k = 2 і u = 1, і тому m = 3k = 6 і t = 2u = 2

Х = 2m2 тобто Х = 2(6) 2 = 72 (або Х = 9 t 3 тобто Х = 9(2) 3 = 72)

Даний метод рішення дозволяє знайти і наступні натуральні числа, що володіють цією властивістю. Так, наприклад, другим рішенням рівняння (*) буде k = 16 і u = 4 і відповідно m = 3k = 48 і Х = 2 m 2 тобто Х = 2 (48) 2 = 4608. Третім рішенням рівняння (*) буде k = 54 та u = 9 і відповідно m = 3k = 162 та Х = 2 m 2 тобто Х = 2 (162) 2 = 52 488 і так далі.

Було отримано 7 відповідей та рішень, 6 з них виявились правильними.

Правильна відповідь (але без пояснення) надіслала: Дар’я Непомнящая з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан; Вона отримує 1 бал.

Правильна відповідь із частковим поясненням надіслали:

  • Костя Єрьомін із НКВ №141, Київ, Україна;
  • Назар Алісултанов з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;

Вони одержують по 2 бали.

Правильні рішення з повним поясненням (по школах у порядку черговості) надіслали:

  • Назар Шапіро та Аліса Скоповська з Єврейської школи “ОРТ Прі Ец Хаїм”, Бішкек, Киргизстан;
  • Олександра Гольдіна із ЗОШ №41, Чернівці, Україна;

Усі вони отримують по 3 бали.