Задание №1  (прием ответов до 02 декабря 2019)

 Не смогли бы вы расставить плюсы и минусы между цифрами, так чтобы получилось равенство?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Ответ на задачу №1:
Когда я подумал об этой задаче, мне казалось что у неё одно решение:
123 – 45 – 67 + 89 = 100

С вашей помощью выяснилось, что есть еще шесть(!) возможных решений:
1 + 23 – 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100

Нами было получено 38 ответов, из них 32 были правильными.
Правильные ответы прислали (по школам в порядке очерёдности):

  • Геннадий Аронов, Мария Павленко, Виктория Куляк, Александр Урсу, Юрий Мирон,
    Александр Сахаров из Технологического лицея ОРТ им. Герцля, Кишинёв, Молдова;
  • Назар Алисултанов, Назар Шапиро, Алиса Скаповская, Самира Абдуллаева, Карина
    Лунева, София Кролевич, Талья Айдарова, Маргарита Лавриненко, Софья Ермошкина
    из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
  • Диана Тарханова, Лиана Балкова, Анна Сечина, Артём Римарчук, Софья Карватовска,
    Егор Жоров, Анастасия Мартиросова из НВК №141, Киев, Украина;
  • Даниил Суханов, Ирина Охота, Матвей Кушпарь из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье,
    Украина;
  • Марик Войцеховский, Дарья Абраменко, Лирон Бланк из гимназии им. Шалом
    Алейхема, Вильнюс, Литва;
  • Арье Шафран, Илья Кузмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония,
  • Александр Голецек из СШ №41, Черновцы, Украина.
  • Особенно хочется отметить Анну Сечину из НВК №141, Киев, Украина, которая прислала 2 разных и правильных решения.

Задание №2  (прием ответов до 09 декабря 2019)

Перед нами квадратный листок бумаги размером 10 см на 10 см.
Как нам (не разрезая и не пользуясь линейкой и другими инструментами!) получить из него квадратный листок бумаги площадь которого будет 50 см2?
Ответ на задачу №2:
В данном квадратном листочке ABCD загнём угол A по линии FE к центру. То же самое сделаем с остальными углами B, C и D:

Площадь полученного квадрата FEHG равна 50 см2.

Нами было получено 24 решения, из которых 20 оказались правильными. Правильные решения (по школам в порядке очерёдности прислали):

  • Анастасия Арнаутова из Технологического лицея ОРТ им. Герцля, Кишинёв, Молдова;
  • Никита Даниленко, Назар Шапиро, Султан Станбеков, Никита Земляной, Назар Алисултанов, Василина Короткова, Гедалья Айдаров и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
  • Валерия Скакун, Аскольд Гальчук и Полина Грушевата из СШ №41, Черновцы, Украина;
  • Илья Кузьмич и Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
  • София Карватовска, Валерия Швачка, Анна Сечина и Лев Карпук из НКВ №141, Киев, Украина;
  • Рон Крихели и Давид Циткилов из школы №1311, Москва, Россия.
  • Особенно хочется отметить Валерию Скакун, Аскольда Гальчука, Полину Грушевату (все из СШ №41, Черновцы, Украина); Назара Шапиро, Султана Станбекова, Никиту Земляного, Назара Алисултанова, Василину Короткову, Гедалью Айдарова, Давида Миркина (все из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан); Анну Сечину, Валерию Швачка, Льва Карпука (из НКВ №141, Киев, Украина); Рона Крихели, Давида Циткилова (из школы №1311, Москва, Россия) за присланные файлы с объяснением их решения. Они получают за это по дополнительному баллу.

Задание №3  (прием ответов до 16 декабря 2019)

Среди жителей посёлка Маленький есть 1000 человек, которые имеют свои машины. У каждой машины свой трёхзначный номер, начиная от 000 и кончая 999. Из-за острого дефицита бензина совет посёлка принял следующие правила о заправке машин:

  1. в понедельник могут заправиться только те машины, в номере которых все цифры меньше 6
  2. во вторник могут заправиться только те машины, номер которых нечётное число
  3. в среду могут заправиться только те машины сумма цифр номера, которых больше 10
  4. в четверг могут заправиться только те машины, номера которых делятся на 3
  5. в пятницу могут заправиться только те машины, сумма цифр номера которых меньше 15
  6. в субботу могут заправиться только те машины, номер которых состоит из хотя бы двух одинаковых цифр
  7. в воскресенье могут заправиться только те машины, номера которых меньше 500

Господин Лаки живёт в посёлке Маленький и у него есть машина. Когда он внимательно прочитал все новые правила о заправке машин, он сказал “Это интересно, я могу заправить свою машину в любой день недели!”. Какой номер машины у господина Лаки?

Решение задачи №3
Обозначим сумму чисел номера машины господина Лаки буквой Х.
1. По правилу №3 Х >10 , а по правилу №5 Х < 15 , то есть 10<X<15.
2. По правилу №4 номер машины должен делиться на три, то есть Х должен делиться на три.
Единственное число, которое удовлетворяет условиям 1 и 2 это 12, то есть Х = 12 и сумма цифр номера машины равна 12.
По правилу №2 число должно быть нечётным и по правилу №1 все цифры должны быть меньше 6 – значит, последней цифрой номера машины могут быть 1, 3 или 5.
По правилу №6 в номере должны быть хотя бы две одинаковые цифры.
Вместе с тем, что сумма всех цифр должна быть 12 и все цифры меньше 6 – номер машины не может заканчиваться на 1 (максимальная сумма тогда будет 5 + 5 + 1 = 11<12).
Если номер заканчивается на 3 то тогда возможные номера 363 или 633, но так как все цифры должны быть меньше 6 эти возможности тоже отпадают.
Значит, номер машины заканчивается на 5, и у нас есть две возможности 525 или 255.
По правилу №7 номер машины должен быть меньше 500, значит номер машины
господина Лаки, который удовлетворяет всем правилам, – 255.

Было получено 41 решение, из которых 27 оказались правильными. Правильные решения (по школам в порядке очерёдности прислали):

  • Данил Авраменко, Максим Вацко и Анна Сечкина из НКВ №141, Киев, Украина;
  • Лирон Бланк из гимназии им. Шалом Алейхема, Вильнюс, Литва;
  • Александра Гольдина, Валерия Скакун и Аскольд Гальчук из СШ №41, Черновцы,
    Украина;
  • Илья Кузьмич, Даниэль Богович и Михаил Осипчик из Еврейской школы, Таллинн,
    Эстония;
  • Виктор Сухоруков и Давид Циткилов из школы №1311, Москва, Россия;
  • Эвелина Грязева из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
  • Назар Алисултанов, Назар Шапиро, Гедалья Айдаров, Султан Станбеков, Давид Миркин, Лия Тюлегенова и Талья Айдарова из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”,Бишкек, Кыргызстан;
  • Арсений Зайков, Даниэль Лотоха, Миша Лисянский, Глеб Леницкий, Кира Шварц,Анастасия Танская и Анна Берлин из СШ “ОРТ” №94, Одесса, Украина.

Особенно хочется отметить Александру Гольдину (из СШ №41, Черновцы, Украина) и Давида Миркина (из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан) за присланные файлы с хорошим объяснением их решения.
К сожалению, не все участники поняли систему начисления баллов и мы получили много правильных ответов без всякого объяснения. В этом туре, мы решили дать 3 балла за правильный ответ и 4 балла за ответ с хорошим решением и объяснением.

Задание №4  (прием ответов до 23 декабря 2019)

Группа из 12 человек (мужчин, женщин и детей) несёт 12 буханок хлеба. Каждый мужчина несёт 2 буханки, каждая женщина несёт 1/2 буханки и каждый ребёнок несёт 1/4 буханки хлеба.
Сколько было в группе мужчин, женщин и детей?
Решение задачи №4

Обозначим число мужчин в группе буквой Х, число женщин буквой Y и число детей буквой Z.
1. количество людей в группе равно 12 и поэтому : X + Y + Z = 12
2. все вместе несут 12 буханок хлеба и поэтому: 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
У нас есть 2 уравнения с 3 неизвестными, в общем случае здесь может быть бесконечное число решений, но так как X, Y и Z целые числа, есть всего 2 решения.
Умножим первое уравнение на два и получим:
1. 2X + 2Y + 2Z = 24
2. 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
Вычтем из первого уравнения второе и получим: 3/2 Y + 7/4 Z = 12
Умножим на 4: 6Y + 7Z = 48 или 7Z = 48 – 6Y и Z = (48 – 6Y)/7
Из последнего уравнения понятно, что Y может быть равен только 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
А Z должен быть целым числом.
Единственные две возможности это Y = 1 и Z = 6 или Y = 8 и Z = 0.
В первом случае мы получим X = 5, Y = 1, Z = 6; а во втором X = 4, Y = 8, Z = 0.
Так как по условию задачи мы знаем, что в группе есть мужчины, женщины и дети второе решение (в котором нет детей) мы должны отбросить и в группе были 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

Нами было получено 25 ответов, из которых 22 оказались правильными.

Правильные ответы (по школам в порядке очерёдности) прислали:

  • Давид Циткилов и Захар Манелис из школы №1311, Москва, Россия;
  • Илья Кузьмич и Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
  • Анна Сечкина, Данил Авраменко и Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;
  • Лирон Бланк и Марик Войцеховский из гимназии им. Шалом Алейхема, Вильнюс, Литва;
  • Матвей Кушпарь из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
  • Александр Голецек из СШ №41, Черновцы, Украина;
  • Гедалья Айдаров и Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
    Все они получают по 1 баллу.

Ответы с неполным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

  • Максим Вацко и Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
  • Аскольд Гальчук и Полина Грушевата из СШ №41, Черновцы, Украина;
  • Евгения Лифшиц из школы им. Дубнова, Рига, Латвия;
  • Назар Алисултанов и Маргарита Лавриненко из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
    Все они получают по 2 балла.

Полное решение прислали:

  • Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;
  • Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
    Они получают по 3 балла.

Особенно хочется отметить Александру Гольдину из СШ №41, Черновцы, Украина за оригинальное (но неполное) решение, она получает дополнительный бонусный балл (всего 3 балла).

Задание №5  (прием ответов до 30 декабря 2019)

После 7 стирок кусок хозяйственного мыла стал в два раза короче, в два раза уже и в два раза ниже.На сколько стирок хватит оставшегося куска? Решение задачи №5

Обозначим длину куска мыла вначале буквой а, ширину куска мыла вначале буквой b и высоту куска мыла вначале буквой с.
Начальный объём куска мыла: V (вначале) = axbxc = abc
После 7 стирок, по условию задачи, длина куска мыла равна а/2, ширина куска мыла равна b/2 и высота равна с/2.
Поэтому объём куска мыла после 7 стирок: V (в конце) = (a/2)x(b/2)x(c/2) =1/8 abc, то есть в конце у нас осталась 1/8 от начального куска.
Если за 7 стирок было использовано 7/8 куска мыла, то на каждую стирку требуется ровно по 1/8 от начального куска мыла.
Так как у нас осталась 1/8 от начального куска мыла то её хватит ровно на одну стирку.

Нами было получено 14 ответов, из которых 11 оказались правильными.

Правильные ответы (по школам в порядке очерёдности) прислали:

  • Назар Алисултанов из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
  • Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;

Оба получают по 1 баллу.

Ответы с неполным решением (по школам в порядке очерёдности) прислал:

  • Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;

Он получает 2 балла.

Полное решение прислали:

  • Аскольд Гальчук, Валерия Скакун и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
  • Маргарита Лавриненко, Дарья Непомнящая, Назар Шапиро и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан; 

Все они получают по 3 балла.

Особенно хочется отметить за творческое представление своего решения, Костю Ерёмина из НКВ №141, Киев, Украина. Он получает дополнительный бонусный балл (всего 4 балла).