Прошедшие туры

Задание №1 (прием ответов до 02 декабря 2019)

Не смогли бы вы расставить плюсы и минусы между цифрами, так чтобы получилось равенство?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Ответ на задачу №1:
Когда я подумал об этой задаче, мне казалось что у неё одно решение:
123 – 45 – 67 + 89 = 100С вашей помощью выяснилось, что есть еще шесть(!) возможных решений:
1 + 23 – 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100

Нами было получено 38 ответов, из них 32 были правильными.
Правильные ответы прислали (по школам в порядке очерёдности):

Геннадий Аронов, Мария Павленко, Виктория Куляк, Александр Урсу, Юрий Мирон, Александр Сахаров из Технологического лицея ОРТ им. Герцля, Кишинёв, Молдова;
Назар Алисултанов, Назар Шапиро, Алиса Скаповская, Самира Абдуллаева, Карина Лунева, София Кролевич, Талья Айдарова, Маргарита Лавриненко, Софья Ермошкина из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Диана Тарханова, Лиана Балкова, Анна Сечина, Артём Римарчук, Софья Карватовска, Егор Жоров, Анастасия Мартиросова из НВК №141, Киев, Украина;
Даниил Суханов, Ирина Охота, Матвей Кушпарь из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
Марик Войцеховский, Дарья Абраменко, Лирон Бланк из гимназии им. Шалом Алейхема, Вильнюс, Литва;
Арье Шафран, Илья Кузмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония,
Александр Голецек из СШ №41, Черновцы, Украина.
Особенно хочется отметить Анну Сечину из НВК №141, Киев, Украина, которая прислала 2 разных и правильных решения.

Задание №2 (прием ответов до 09 декабря 2019)

Перед нами квадратный листок бумаги размером 10 см на 10 см.
Как нам (не разрезая и не пользуясь линейкой и другими инструментами!) получить из него квадратный листок бумаги площадь которого будет 50 см²?

Ответ на задачу №2:
В данном квадратном листочке ABCD загнём угол A по линии FE к центру. То же самое сделаем с остальными углами B, C и D:

Площадь полученного квадрата FEHG равна 50 см².

Нами было получено 24 решения, из которых 20 оказались правильными. Правильные решения (по школам в порядке очерёдности прислали):

Анастасия Арнаутова из Технологического лицея ОРТ им. Герцля, Кишинёв, Молдова;
Никита Даниленко, Назар Шапиро, Султан Станбеков, Никита Земляной, Назар Алисултанов, Василина Короткова, Гедалья Айдаров и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун, Аскольд Гальчук и Полина Грушевата из СШ №41, Черновцы, Украина;
Илья Кузьмич и Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
София Карватовска, Валерия Швачка, Анна Сечина и Лев Карпук из НКВ №141, Киев, Украина;
Рон Крихели и Давид Циткилов из школы №1311, Москва, Россия.
Особенно хочется отметить Валерию Скакун, Аскольда Гальчука, Полину Грушевату (все из СШ №41, Черновцы, Украина); Назара Шапиро, Султана Станбекова, Никиту Земляного, Назара Алисултанова, Василину Короткову, Гедалью Айдарова, Давида Миркина (все из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан); Анну Сечину, Валерию Швачка, Льва Карпука (из НКВ №141, Киев, Украина); Рона Крихели, Давида Циткилова (из школы №1311, Москва, Россия) за присланные файлы с объяснением их решения. Они получают за это по дополнительному баллу.

Задание №3 (прием ответов до 16 декабря 2019)

Среди жителей посёлка Маленький есть 1000 человек, которые имеют свои машины. У каждой машины свой трёхзначный номер, начиная от 000 и кончая 999. Из-за острого дефицита бензина совет посёлка принял следующие правила о заправке машин:

в понедельник могут заправиться только те машины, в номере которых все цифры меньше 6
во вторник могут заправиться только те машины, номер которых нечётное число
в среду могут заправиться только те машины сумма цифр номера, которых больше 10
в четверг могут заправиться только те машины, номера которых делятся на 3
в пятницу могут заправиться только те машины, сумма цифр номера которых меньше 15
в субботу могут заправиться только те машины, номер которых состоит из хотя бы двух одинаковых цифр
в воскресенье могут заправиться только те машины, номера которых меньше 500

Господин Лаки живёт в посёлке Маленький и у него есть машина. Когда он внимательно прочитал все новые правила о заправке машин, он сказал “Это интересно, я могу заправить свою машину в любой день недели!”. Какой номер машины у господина Лаки?

Решение задачи №3
Обозначим сумму чисел номера машины господина Лаки буквой Х.
1. По правилу №3 Х >10 , а по правилу №5 Х < 15 , то есть 10<X<15.
2. По правилу №4 номер машины должен делиться на три, то есть Х должен делиться на три.
Единственное число, которое удовлетворяет условиям 1 и 2 это 12, то есть Х = 12 и сумма цифр номера машины равна 12.
По правилу №2 число должно быть нечётным и по правилу №1 все цифры должны быть меньше 6 – значит, последней цифрой номера машины могут быть 1, 3 или 5.
По правилу №6 в номере должны быть хотя бы две одинаковые цифры.
Вместе с тем, что сумма всех цифр должна быть 12 и все цифры меньше 6 – номер машины не может заканчиваться на 1 (максимальная сумма тогда будет 5 + 5 + 1 = 11<12).
Если номер заканчивается на 3 то тогда возможные номера 363 или 633, но так как все цифры должны быть меньше 6 эти возможности тоже отпадают.
Значит, номер машины заканчивается на 5, и у нас есть две возможности 525 или 255.
По правилу №7 номер машины должен быть меньше 500, значит номер машины
господина Лаки, который удовлетворяет всем правилам, – 255.

Было получено 41 решение, из которых 27 оказались правильными. Правильные решения (по школам в порядке очерёдности прислали):

Данил Авраменко, Максим Вацко и Анна Сечкина из НКВ №141, Киев, Украина;
Лирон Бланк из гимназии им. Шалом Алейхема, Вильнюс, Литва;
Александра Гольдина, Валерия Скакун и Аскольд Гальчук из СШ №41, Черновцы, Украина;
Илья Кузьмич, Даниэль Богович и Михаил Осипчик из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Виктор Сухоруков и Давид Циткилов из школы №1311, Москва, Россия;
Эвелина Грязева из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
Назар Алисултанов, Назар Шапиро, Гедалья Айдаров, Султан Станбеков, Давид Миркин, Лия Тюлегенова и Талья Айдарова из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”,Бишкек, Кыргызстан;
Арсений Зайков, Даниэль Лотоха, Миша Лисянский, Глеб Леницкий, Кира Шварц, Анастасия Танская и Анна Берлин из СШ “ОРТ” №94, Одесса, Украина.

Особенно хочется отметить Александру Гольдину (из СШ №41, Черновцы, Украина) и Давида Миркина (из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан) за присланные файлы с хорошим объяснением их решения.
К сожалению, не все участники поняли систему начисления баллов и мы получили много правильных ответов без всякого объяснения. В этом туре, мы решили дать 3 балла за правильный ответ и 4 балла за ответ с хорошим решением и объяснением.

Задание №4 (прием ответов до 23 декабря 2019)

Группа из 12 человек (мужчин, женщин и детей) несёт 12 буханок хлеба. Каждый мужчина несёт 2 буханки, каждая женщина несёт 1/2 буханки и каждый ребёнок несёт 1/4 буханки хлеба.
Сколько было в группе мужчин, женщин и детей?

Решение задачи №4

Обозначим число мужчин в группе буквой Х, число женщин буквой Y и число детей буквой Z.
1. количество людей в группе равно 12 и поэтому : X + Y + Z = 12
2. все вместе несут 12 буханок хлеба и поэтому: 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
У нас есть 2 уравнения с 3 неизвестными, в общем случае здесь может быть бесконечное число решений, но так как X, Y и Z целые числа, есть всего 2 решения.
Умножим первое уравнение на два и получим:
1. 2X + 2Y + 2Z = 24
2. 2X + 1/2 Y + 1/4 Z = 12
Вычтем из первого уравнения второе и получим: 3/2 Y + 7/4 Z = 12
Умножим на 4: 6Y + 7Z = 48 или 7Z = 48 – 6Y и Z = (48 – 6Y)/7
Из последнего уравнения понятно, что Y может быть равен только 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
А Z должен быть целым числом.
Единственные две возможности это Y = 1 и Z = 6 или Y = 8 и Z = 0.
В первом случае мы получим X = 5, Y = 1, Z = 6; а во втором X = 4, Y = 8, Z = 0.
Так как по условию задачи мы знаем, что в группе есть мужчины, женщины и дети второе решение (в котором нет детей) мы должны отбросить и в группе были 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

Нами было получено 25 ответов, из которых 22 оказались правильными.

Правильные ответы (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Давид Циткилов и Захар Манелис из школы №1311, Москва, Россия;
Илья Кузьмич и Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Анна Сечкина, Данил Авраменко и Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;
Лирон Бланк и Марик Войцеховский из гимназии им. Шалом Алейхема, Вильнюс, Литва;
Матвей Кушпарь из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
Александр Голецек из СШ №41, Черновцы, Украина;
Гедалья Айдаров и Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Все они получают по 1 баллу.

Ответы с неполным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Максим Вацко и Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Аскольд Гальчук и Полина Грушевата из СШ №41, Черновцы, Украина;
Евгения Лифшиц из школы им. Дубнова, Рига, Латвия;
Назар Алисултанов и Маргарита Лавриненко из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Все они получают по 2 балла.

Полное решение прислали:

Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;
Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Они получают по 3 балла.

Особенно хочется отметить Александру Гольдину из СШ №41, Черновцы, Украина за оригинальное (но неполное) решение, она получает дополнительный бонусный балл (всего 3 балла).

Задание №5 (прием ответов до 30 декабря 2019)

После 7 стирок кусок хозяйственного мыла стал в два раза короче, в два раза уже и в два раза ниже.

На сколько стирок хватит оставшегося куска?

Решение задачи №5

Обозначим длину куска мыла вначале буквой а, ширину куска мыла вначале буквой b и высоту куска мыла вначале буквой с.
Начальный объём куска мыла: V (вначале) = axbxc = abc
После 7 стирок, по условию задачи, длина куска мыла равна а/2, ширина куска мыла равна b/2 и высота равна с/2.
Поэтому объём куска мыла после 7 стирок: V (в конце) = (a/2)x(b/2)x(c/2) =1/8 abc, то есть в конце у нас осталась 1/8 от начального куска.
Если за 7 стирок было использовано 7/8 куска мыла, то на каждую стирку требуется ровно по 1/8 от начального куска мыла.
Так как у нас осталась 1/8 от начального куска мыла то её хватит ровно на одну стирку.

Нами было получено 14 ответов, из которых 11 оказались правильными.

Правильные ответы (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Назар Алисултанов из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;

Оба получают по 1 баллу.

Ответы с неполным решением (по школам в порядке очерёдности) прислал:

Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;

Он получает 2 балла.

Полное решение прислали:

Аскольд Гальчук, Валерия Скакун и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
Маргарита Лавриненко, Дарья Непомнящая, Назар Шапиро и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;

Все они получают по 3 балла.

Особенно хочется отметить за творческое представление своего решения, Костю Ерёмина из НКВ №141, Киев, Украина. Он получает дополнительный бонусный балл (всего 4 балла).

Задание №6 (прием ответов до 20 января 2020)

Господин Небогатый приехал в город по делам, он должен был остаться там 8 дней (7 ночей). В городе была одна гостиница, но денег у него не было. Зато у него была красивая серебряная цепочка из 7 звеньев.

Хозяину гостиницы цепочка понравилась, и они договорились, что господин Небогатый расплатится цепочкой за своё проживание в гостинице. Но так как оплата в гостинице ежедневная хозяин выдвинул следующие требования:

1. каждое утро господин Небогатый должен отдать ему одно звено цепочки, как оплату за прошедшую ночь
2. для того чтобы повреждение всей цепочки было минимальным, количество разрезов должно быть минимальным

Как господину Небогатому выполнить эти условия и сколько разрезов нужно для этого сделать?

Ответ на задачу:

Для того, чтобы выполнить условия хозяина гостиницы и прожить там 7 ночей, господин Небогатый должен сделать один разрез звена №3:

После этого цепочка распадётся на три части – одно звено №3 (которое было разрезано), два связанных звена (№1 и №2) и четыре связанных звена (№4 – №7).
В первое утро господин Небогатый отдаст хозяину гостиницы звено №3 как оплату за первую ночь. На второе утро, он отдаст хозяину два звена (№1 и №2) и получит у него как сдачу звено №3. Все дальнейшие оплаты представлены в следующей таблице:

Число звеньев цепочки, которые остаются у хозяина каждое утро, равно количеству ночей, которые провёл господин Небогатый в его гостинице.

Нами было получено 13 решений, из которых 5 оказались полными и правильными.

Правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Назар Алисултанов, Алиса Скоповская, Назар Шапиро и Давид Миркин из Еврейской
школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;

Все они получают по 3 балла.

Задание №7 (прием ответов до 27 января 2020)

Один мальчик решил принести своей бабушке несколько пирожных в честь её дня рождения. Бабушка живёт в другом конце города и по дороге к ней нужно пройти 7 мостов. На каждом мосту живёт голодный Серый Волк, он отбирает у мальчика половину пирожных, которые у него есть. Но если мальчик расскажет ему, что эти пирожные предназначены для бабушки, у которой сегодня день рождения, Серый
Волк его пожалеет и отдаст ему одно пирожное назад.Сколько пирожных мальчик должен взять с собой из дома для того чтобы принести бабушке два пирожных?

Решение задачи №7

Начнём решение задачи с конца – мальчику нужно уйти с седьмого моста с двумя пирожными. На этом мосте, одно пирожное он получил от Серого Волка (после того как отдал ему половину того что у него было), значит он пришёл на этот мост с двумя пирожными – одно он сразу отдал Серому Волку, а потом рассказав ему про бабушку получил одно пирожное назад.

То есть если мальчик приходит на каждый мост с двумя пирожными, одно он вначале отдаёт, а потом, получает его обратно. В результате он и уходит с этого моста с двумя пирожными.

Поэтому самое лучшее для него решение это выйти из дома с двумя пирожными и на каждом мосту рассказывать Серому Волку, что это пирожные для бабушки, у которой сегодня день рождения.

Как правильно заметили Давид Миркин и Дарья Непомнящая (из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан), у задачи есть и другие решения. Эти решения естественно являются далеко не наилучшими. Так например, если мальчик не будет просить пирожные обратно, он может выйти из дома с 256 (2⁸ = 256), на каждом мосту отдать половину и прийти к бабушке с 2 пирожными. В принципе, можно доказать, что выйдя из дома с любым количеством пирожных больше двух, (и прося пирожные обратно) у мальчика в конце останется больше 2 пирожных.

Нами было получено 16 ответов и решений, из которых 14 оказались правильными.

Правильный ответ прислал Данил Авраменко из НКВ №141, Киев, Украина; он получает один балл.

Правильный ответ с неточным решением прислали:

Матвей Кушпарь и Даниил Суханов из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина.
Каждый ученик получает два балла.

Правильные ответы с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Даниэль Богович и Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Эвелина Грязева из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
Назар Алисултанов, Алиса Скоповская, Давид Миркин и Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун и Аскольд Гальчук из СШ №41, Черновцы, Украина;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;

Все они получают по 3 балла.
Хочется отметить Дарью Непомнящую из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан, которая прислала дополнительное возможное решение. К сожалению, в этом решении оказалась ошибка, и она тоже получает 3 балла.

Задание №8 (прием ответов до 03 февраля 2020)

Пять хороших друзей пошли погулять. По дороге они немного проголодались, но у них был один большой бублик.

Так как все были хорошими друзьями, и в разной мере голодными, они не возражали получить разного размера кусочки, но при этом они хотели разделить бублик при помощи всего двух разрезов.
Сможете ли вы двумя разрезами разрезать этот бублик на 5 (неравных!) частей?

Решение задачи №8
У задачи есть бесконечное число решений, одно из них на рисунке 1.

Рис. 1

Для правильного решения есть два условия:
1. Линии разрезов должны пересечься на самом бублике.
2. Линии разрезов должны касаться дырки бублика или пересекать её.
Если второе условие не соблюдается, то на рисунке 2 показан пример, когда разрезы пересекаются на самом бублике, но 5 кусочков мы не получаем.

Нами было получено 16 решений, из которых 12 оказались правильными.
Правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Валерия Скакун, Полина Гушевата и Аскольд Гальчук из СШ №41, Черновцы, Украина;
Бенайа Айдаров, Алиса Скоповская, Софья Мирошкина, Давид Миркин, Назар Шапиро и Султан Станбеков из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Все они получают по 3 балла.

Некоторые ученики правильно указали на условие №1 (пересечение разрезов на самом бублике), но к правильной формулировке второго условия ближе всего подошли:

Даниэль Богович и Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Анна Сечкина из НКВ №141, Киев, Украина;
Они получают дополнительный бонусный балл и всего по 4 балла.

Задание №9 (прием ответов до 10 февраля 2020)

В стране Тимбокту в ходу монеты 1 тимбоку, 3 тимбоку и 5 тимбоку.

Сможете ли вы разменять бумажную купюру в 200 тимбоку на монеты, так чтобы общее число монет было нечётным числом?

Решение задачи №9:

Обозначим число монет номиналом в 1 тимбоку как k, номиналом в 3 тимбоку как m и номиналом в 5 тимбоку как n. Понятно что k, m, n целые и неотрицательные числа.
При размене купюры в 200 тимбоку должно соблюдаться равенство: k + 3m + 5n = 200
Кроме того по условию задачи требуется чтобы k + m + n = нечётное число.
Сумма трёх целых и неотрицательных чисел может быть нечётным числом в одном из двух случаев:
1. Все три числа – k, m, n нечётные числа
2. Два числа из трёх (k, m, n) чётные и только одно нечётное.
В первом случае (если k, m, n все нечётные числа), то k, 3m и 5n тоже все нечётные числа. Тогда их сумма не может быть чётным числом (200).
Во втором случае (если два из чисел k, m, n чётные и только одно нечётное), то из трёх чисел k, 3m и 5n два будут чётными и одно нечётным. Но тогда сумма двух чётных чисел и одного нечётного будет опять нечётным числом и равенство k + 3m + 5n = 200 не соблюдается.
Поэтому размен купюры в 200 тимбоку на монеты достоинством в 1, 3 и 5 тимбоку так чтобы общее число монет было нечётным числом невозможен.

Нами было получено 11 ответов и решений, из которых 10 оказались правильными.
Правильный ответ прислал:

Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония; Он получает 1 балл.

Правильный ответ с частичным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Назар Алисултанов, Султан Станбеков, Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Костя Ерёмин из из НКВ №141, Киев, Украина;
Все они получают по 2 балла.

Полные решения прислали:

Давид Миркин и Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;

К сожалению, решение Давида Миркина было не совсем точным и он получает 2 балла. Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан и Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина получают по 3 балла за свои решения.
Красивое доказательство невозможности размена прислала Алиса Скоповская из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан. Она получает дополнительный бонусный балл и всего 4 балла.

Задание №10 (прием ответов до 17 февраля 2020)

Ювелир, механик и инженер имена которых (не обязательно в порядке их профессий!) Борис, Лёва и Миша встретились с аэропорту по пути в Тимбокту на летний отпуск. Из общего разговора выяснилось что:

Борис и механик жили когда-то в посёлке Маленький
Ювелир и Лёва живут в одной стране
Миша моложе чем инженер
Лёва старше механика

Как зовут ювелира?

Решение задачи №10
1. Если Борис и механик жили когда-то в посёлке Маленький, значит Борис не механик
2. Если ювелир и Лёва живут в одной стране, значит Лёва не ювелир
3. Если Миша моложе чем инженер, значит Миша не инженер
4. Если Лёва старше механика, значит Лёва не механик
Если Лёва не ювелир и не механик, значит Лёва инженер.
Борис не механик и не инженер, значит Борис ювелир.
Ответ – ювелира зовут Борис.

Нами было получено 14 ответов и решений, из которых 13 оказались правильными.

Правильный ответ прислал:

Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;

Он получает 1 балл.

Правильный ответ с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Илья Кузьмич и Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Назар Шапиро, Софья Ермошкина, Назар Алисултанов, Алиса Скоповская, Давид Миркин, Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун, Полина Гушеватая и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;

Все они получают по 3 балла.

Задание №11 (прием ответов до 24 февраля 2020)

Во время стоянки маленького корабля между двумя рейсами матросу исполнилось 20
лет. По этому случаю в каюте собрались все 6 членов команды.
Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста – сказал рулевой.
А я на столько же лет старше юнги, на сколько моложе машиниста – заметил боцман.
Кроме того я на 4 года старше матроса.
Вы знаете, что средний возраст всей нашей команды 28 лет – сказал капитан.
Сколько лет капитану?

Ответ на задачу №11:
Матросу 20 лет, и если боцман на 4 года его старше значит боцману 24 года.
Обозначим возраст юнги за Х, а возраст машиниста за Y.
По словам боцмана он на столько же лет старше юнги насколько моложе машиниста, значит: 24 – Х = Y – 24
По словам рулевого он вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, значит:
2Х = Y + 6
У нас есть 2 уравнения с двумя неизвестными:
Х + Y = 48
2Х – Y = 6
Сложим эти два уравнения и получим 3Х = 54 и Х = 18. Подставим Х в первое уравнение и получим Y = 30. То есть юнге 18 лет, машинисту 30 лет, а рулевому 36 лет.
Сумма возрастов юнги, матроса, боцмана, машиниста и рулевого:
18 + 20 + 24 + 30 + 36 = 128
Средний возраст всех 6 членов команды 28 лет, поэтому сумма их возрастов должна быть 28 х 6 = 168
Поэтому возраст капитана 168 – 128 = 40 лет.

Нами было получено 9 правильных ответов и решений.
Правильный ответ прислала:

Софья Ермошкина из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан; Она получает 1 балл.
Правильный ответ с неполным решением прислал:
Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония; Он получает 2 балла.
Правильный ответ с полным решением прислал:
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
К сожалению, в его решении была ошибка и он получает тоже 2 балла.
Правильный ответ с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:
Назар Шапиро, Алиса Скоповская и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Валерия Скакун и Полина Гушеватая из СШ №41, Черновцы, Украина;
Михайло Панасюк из НКВ №141, Киев, Украина;
Все они получают по 3 балла.

Задание №12 (прием ответов до 02 марта 2020)

По дереву высотой 14 метров ползёт гусеница. За день она поднимается на 6 метров вверх, а за ночь сползает на 4 метра вниз.

Если гусеница начала ползти с земли, за сколько дней она попадёт на вершину дерева?

Ответ на задачу №12:

Опишем положение гусеницы в следующей таблице (все расстояния в метрах):

Так как высота дерева 14 метров, гусеница попадёт на вершину в конце пятого дня.

Нами было получено 14 ответов и решений, из которых 11 оказались правильными.
Правильный ответ прислал:

Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина; Он получает 1 балл.

Правильный ответ с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Даниил Суханов из гимназии “ОРТ Алеф”, Запорожье, Украина;
Яша Доля и Иван Марков из Технологического лицея ОРТ имени Б. З. Герцля, Кишинёв, Молдова;
Назар Шапиро, Алиса Скоповская, Давид Миркин и Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Аскольд Гальчук, Валерия Скакун и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
Все они получают по 3 балла.

Задание №13 (прием ответов до 09 марта 2020)

Электропоезд длиной 20 метров проезжает мимо километрового столба за 2 секунды.

Если скорость поезда постоянна, то сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной в 40 метров?

Ответ на задачу №13:

Так как поезд длиной 20 метров, проезжает мимо столба за 2 секунды, скорость поезда: 20 м/ 2 сек = 10 м/сек

Для того чтобы полностью проехать мост длиной в 40 метров локомотив поезда должен проехать 60 метров (40 метров длина моста + 20 метров длина поезда).

Так как скорость поезда 10 м/сек это займёт:

60 м / 10 м/сек = 6 cекунд

Нами было получено 12 ответов и решений, из которых 9 оказались правильными.

Полное решение с маленькой ошибкой прислали:

Яша Доля из Технологического лицея ОРТ имени Б. З. Герцля, Кишинёв, Молдова;
Лия Тюлегенова из из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Они получают по 2 балла.

Правильный ответ с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Назар Шапиро, Дарья Непомнящая, Алиса Скоповская и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Все они получают по 3 балла.

Задание №14 (прием ответов до 16 марта 2020)

Натуральное число называется палиндромом, если его значение не меняется, когда мы читаем его справа налево. Так например, 12321 это палиндром, а 123456 нет.

Перед вами пример сложения: ** + *** = **** (каждая звёздочка обозначает какую-то цифру), в которой оба слагаемых и их сумма являются палиндромами.

Не смогли бы вы найти решение этого примера?

Решение задачи:

Нам известно что ** + *** = **** (каждая звёздочка обозначает какую-то цифру) и оба слагаемых и их сумма являются палиндромами.

Понятно что сумма двухзначного и трёхзначного чисел будет вида 1aa1.

Для того чтобы получить в сумме число больше 1000, трёхзначное число может быть только вида 9b9. То есть ** + 9b9 = 1aa1 . Поэтому двухзначное число может быть только 22 и мы имеем 22 + 9b9 = 1aa1 .

Сейчас есть три возможности для цифры b: b =7 , b=8 или b=9.

Если b =7 то мы получаем 22 + 979 = 1001 и все числа палиндромы.

Если b =8 то мы получаем 22 + 989 = 1011 и сумма не является палиндромом.

Если b =9 то мы получаем 22 + 999 = 1021 и сумма опять не является палиндромом.

Поэтому единственное решение которое выполняет все условия: 22 + 979 = 1001

Нами было получено 12 ответов и решений и все они оказались правильными.

Правильный ответ прислали:
Даниэль Богович и Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Карина Лунева из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Егор Жоров из НКВ №141, Киев, Украина;
Все они получают по 1 баллу.
Частичное решение прислала:
Лия Тюлегенова из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Она получает 2 балла.
Правильный ответ с полным решением (по школам в порядке очерёдности) прислали:
Назар Шапиро, Назар Алисултанов, Алиса Скоповская и Давид Миркин из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Валерия Скакун и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
Все они получают по 3 балла.

Задание №15 (прием ответов до 23 марта 2020)

Перед нами три закрытые коробочки, в каждой лежит один маленький шарик белый, чёрный или зелёный. На каждой коробочке есть надпись: «белый», «чёрный», «или белый или зелёный», но ни одна из надписей не соответствует содержимому.

Не смогли бы вы определить какой шарик находится в каждой коробочке?

Решение задачи 15:

Нам известно что:

Кроме того мы знаем что все надписи неправильные, поэтому в коробочке №3 («или белый или зелёный») может находиться только чёрный шарик:

Тогда белый шарик должен быть в коробочке №2 на которой написано «чёрный», а зелёный шарик будет тогда в коробочке №1.

Нами было получено 12 ответов и решений, из них 10 оказались правильными.

Полные правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Валерия Скакун и Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;
Карина Лунева, Алиса Скоповская, Назар Алисултанов, Давид Миркин и Назар Шапиро из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Иван Марков из Технологического лицея ОРТ имени Б. З. Герцля, Кишинёв, Молдова;
Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;

Все они получают по 3 балла.

Задание №16 (прием ответов до 30 марта 2020)

Ученик купил 4 разные тетради. Все тетради без первой стоят 42 рубля, все без второй – 40 рублей, все без третьей – 38 рублей и все без четвёртой – 36 рублей.

Сколько стоит каждая тетрадь?

Решение задачи:

Обозначим стоимости тетрадей: Х₁– первая тетрадь, Х₂– вторая тетрадь, Х₃– третья тетрадь, Х₄– четвёртая тетрадь

По условиям задачи мы сможем составить следующие уравнения:

Х₂+ Х₃+ Х₄ = 42
Х₁+ Х₃+ Х₄ = 40
Х₁+ Х₂+ Х₄ = 38
Х₁+ Х₂+ Х₃= 36

У нас есть простая система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, и есть несколько способов её решить.

Самый простой это сложить все уравнения, мы получим: 3Х₁ + 3Х₂+ 3Х₃+ 3Х₄ = 156 или 3(Х₁ + Х₂+ Х₃+ Х₄) = 156; разделим на 3 и получим: Х₁ + Х₂+ Х₃+ Х₄ = 52

То есть стоимость всех четырёх тетрадей 52 рубля.

Поэтому стоимость каждой тетради:

Х₁ = 52 – 42 = 10 рублей;
Х₂ = 52 – 40 = 12 рублей;
Х₃ = 52 – 38 = 14 рублей;
Х₄ = 52 – 36 = 16 рублей.

Нами было получено 10 ответов и решений, все они оказались правильными.

Правильный ответ, но без объяснения прислала Даана Салиева из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан; Она получает 1 балл.

Полные правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Илья Кузьмич из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;
Дарья Непомнящая, Алиса Скоповская, Назар Шапиро, Лия Тюлегенова, Давид Миркин и Назар Алисултанов из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;

Все они получают по 3 балла.

Задание №17 (прием ответов до 06 апреля 2020)

Ира, Даша, Миша и Боря собирали грибы в лесу.

Ира собрала больше всех грибов, а Даша не меньше всех.

Верно ли что девочки собрали больше грибов, чем мальчики?

Решение задачи:

Обозначим сколько грибов собрал каждый из ребят:

Х₁– Ира, Х₂– Даша, Y₁– Миша, Y₂– Боря

По условиям задачи мы знаем что Ира собрала больше всех грибов, а Даша не меньше всех. То есть Х₁> Х₂, Y₁, Y₂и у нас есть несколько возможностей:

Мальчики собрали разное количество грибов, для определённости допустим что Y₁> Y₂

Тогда может быть Х₂≥ Y₁> Y₂ или Y₁> Х₂≥ Y₂

В любом из этих случаев так как Х₁> Y₁и Х₂≥ Y₂ то Х₁+ Х₂> Y₁+ Y₂

Мальчики собрали одинаковое количество грибов то есть Y₁= Y₂

Тогда опять может быть Х₂> Y₁= Y₂ или Х₂= Y₁= Y₂

В любом из этих случаев Х₂ ≥ Y₁= Y₂

И поэтому опять, так как Х₁> Y₁и Х₂≥ Y₂ то Х₁+ Х₂> Y₁+ Y₂

То есть в любом случае девочки собрали больше грибов чем мальчики.

Нами было получено 9 ответов и решений, все они оказались правильными.
Правильный ответ, но без решения прислала Даана Салиева из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Правильный ответ (с не очень понятным объяснением) прислал Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Они получают по 1 баллу.
Полные правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:
Алиса Скоповская, Давид Миркин, Назар Шапиро, Назар Алисултанов и Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Даниэль Богович из Еврейской школы, Таллинн, Эстония;
Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;
Все они получают по 3 балла.

Задание №18 (прием ответов до 13 апреля 2020)

В погребе 20 одинаковых на вид банок с вареньем. В 8 банках клубничное варенье, в 7 банках малиновое варенье и в 5 банках вишнёвое варенье.

Каково наибольшее количество банок, которые можно вынести в темноте из погреба с уверенностью, что там остались хотя бы ещё 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого сорта?

Решение задачи:

Для решения задачи должны соблюдаться два условия:

В подвале должны остаться хотя бы 2 разных видов варенья
Того варенья которого меньше, должно остаться хотя бы 3 банки

Для описания ситуации введём обозначение – (количество банок клубничного варенья, количество банок малинового варенья, количество банок вишнёвого варенья).

Наше начальное положение – (8, 7, 5).

Понятно что мы не можем забрать из погреба 12 банок варенья, так как может случится что мы возмём все банки малинового и вишнёвого варенья и тогда получится:

Начальное положение	Что мы взяли?	Что осталось?	Конечный результат
(8, 7, 5)	(0, 7, 5)	(8, 0, 0)	Не соблюдается условие №1

Если мы попытаемся взять 11 банок то может получится:

Начальное положение	Что мы взяли?	Что осталось?	Конечный результат
(8, 7, 5)	(0, 7, 4)	(8, 0, 1)	Не соблюдается условие №2

Если мы попытаемся взять 10 банок то может получится:

Начальное положение	Что мы взяли?	Что осталось?	Конечный результат
(8, 7, 5)	(0, 7, 3)	(8, 0, 2)	Не соблюдается условие №2

Попробуем взять 9 банок, но тогда может получится:

Начальное положение	Что мы взяли?	Что осталось?	Конечный результат
(8, 7, 5)	(0, 6, 3)	(8, 1, 2)	Не соблюдается условие №2

Попробуем взять 8 банок, но тогда может получится:

Начальное положение	Что мы взяли?	Что осталось?	Конечный результат
(8, 7, 5)	(0, 5, 3)	(8, 2, 2)	Не соблюдается условие №2

Но если мы возмём 7 банок, то легко убедится что оба условия будут соблюдены.

Поэтому максимальное число банок варенья, которые можно взять из погреба равно 7.

Нами было получено 7 решений, все они оказались правильными.

Полные правильные решения (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Алиса Скоповская, Давид Миркин, Назар Алисултанов, Назар Шапиро и Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан; Валерия Скакун из СШ №41, Черновцы, Украина;

Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;

Все они получают по 3 балла.

Задание №19 (прием ответов до 20 апреля 2020)

У некоторых натуральных чисел есть интересное свойство: если мы умножим это число на два то мы получим квадрат другого числа, а если мы умножим это число на три то получим куб ещё одного числа.

Не смогли бы вы найти минимальное натуральное число у которого есть такое свойство?

Решение задачи:

Обозначим наше число как Х, тогда по условиям задачи:

2Х = n² и 3Х = s³ (Х ≠ n; Х ≠ s)

Из последних уравнений понятно, что n должно делиться на 2 и s должно делиться на 3.

То есть n = 2m и s = 3t;

подставим n и s в наши уравнения и получим:

2Х = (2m)²то есть 2Х = 4m² и Х = 2m²

3Х = (3t)³то есть 3Х = 27t³ и Х = 9t³

Мы получили что: 2m² = 9t³ ;

из этого уравнения понятно что m должно делиться на 3 и t должно делиться на 2.

То есть m = 3k и t = 2u;

подставим эти m и t в последнее уравнение и получим:

2(3k)² = 9(2u)³ то есть 2(9k²) = 9(8u³) , и после сокращений получим k² = 4u³ (*)

Мы ищем минимальное решение данного уравнения в натуральных числах поэтому:

k = 2 и u = 1, и поэтому m = 3k = 6 и t = 2u = 2

Х = 2m² то есть Х = 2(6)² = 72 (или Х = 9t³ то есть Х = 9(2)³ = 72)

Данный метод решения позволяет найти и последующие натуральные числа обладающие этим свойством. Так например, вторым решением уравнения (*) будет k = 16 и u = 4 и соответственно m = 3k = 48 и Х = 2m² то есть Х = 2(48)² = 4608 . Третьим решением уравнения (*) будет k = 54 и u = 9 и соответственно m = 3k = 162 и Х = 2m² то есть Х = 2(162)² = 52488 и так далее.

Было получено 7 ответов и решений, 6 из них оказались правильными.

Правильный ответ (но без объяснения) прислала: Дарья Непомнящая из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан; Она получает 1 балл.

Правильный ответ с частичным объяснением прислали:

Костя Ерёмин из НКВ №141, Киев, Украина;
Назар Алисултанов из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;

Они получают по 2 балла.

Правильные решения с полным объяснением (по школам в порядке очерёдности) прислали:

Назар Шапиро и Алиса Скоповская из Еврейской школы “ОРТ При Ец Хаим”, Бишкек, Кыргызстан;
Александра Гольдина из СШ №41, Черновцы, Украина;

Все они получают по 3 балла.